SERIES NUMERICAS
Las series son un tipo particular e importante de sucesiones
Una serie es un tipo particular de sucesión, que denotaremos conS[n] construida a partir de otra sucesión que denotamos con a[n] del siguiente modo: S[n] es la suma de los términos de la sucesión a[n] desde k=1 hasta k=n. - sum(sucesión,variable,término inicial,término final);
/* Ejemplo 1*/
a[n]:=1/n $
S[n]:=sum(a[k],k,1,n)$
makelist([n,a[n],S[n]],n,1,5);
produce los 5 primeros términos de las sucesiones a[n] y S[n], como puede verse en la ventana superior de xMaxima.El valor
a[n] se llama término general de la serie y el valor S[n] se llama la suma n-ésima de la serie. La serie se dice convergente si existe el límite de la sucesión S[n] y el valor de dicho límite se conoce con el nombre de suma de la serie.Es sencillo darse cuenta de que para que una serie pueda ser convergente el término general de la misma ha de tener límite cero, pues de ser dicho límite un número
a no nulo, el límite del término general, la suma de la serie sería más infinito si a>0 o menos infinito si a<0, ya que cuando n es «muy grande» casi todos los términos a[n] tienen un valor cercano al valor a. En cambio cuando a=0 puede ser que la serie converja o no. Para convencerse de ello compruebe que la sucesión S[n]
del Ejemplo 1 es monótona creciente (lo cual es evidente) sin que
aparentemente (y así es en realidad) esté acotada superiormente: vaya
dando valores cada vez más grandes a n. En cambio si hace lo mismo con el Ejemplo 2 y comprobará experimentalmente que la sucesión S[n] nunca supera el valor 2.
/* Ejemplo 2*/
kill(all)$
a[n]:=1/n^2 $
S[n]:=sum(a[k],k,1,n)$
lista:makelist([n,float(S[n])],n,1,20);
esto garantiza que el límite existe y es finito y se podrían obtener
aproximaciones del valor del límite. El grafismo también sirve de ayuda.
plot2d([discrete,lista]);
En principio, para calcular el valor de la suma de la serie es necesario obtener una fórmula «razonable» para la suma n-ésima
a fin de poder tomar el límite. Pero esto, salvo en casos muy
particulares, no es sencillo. No lo es, en ninguno de los ejemplos
anteriores (trate de hacerlo a mano). Y, por tanto, tampoco lo es para
Maxima.
sum(1/k,k,1,n);
sum(1/k^2,k,1,n);
sum(1/k^2,k,1,inf);
En realidad Maxima tiene memorizado el valor de la suma de la serie
del Ejemplo 2, como se muestra en el código que viene a continuación en
el que con carácter local se asigna el valor true a la variable simpsum que permite expresar, en algunos casos, el valor de la suma de forma simplificada.
sum(1/n^2,n,1,inf),simpsum;
%,numer;
El valor %pi^2/6 se obtiene por un procedimiento indirecto: Maxima sólo conoce el resultado final, pero no las sumas n-ésimas.
sum(1/n^2,n,1,m),simpsum;
Como consecuencia de que la serie sum(1/n^2,n,1,inf) es convergente, también lo son las series sum(1/n^s,n,1,inf) para cada s>2, ya que las sumas correspondientes son más pequeñas. De hecho, la serie sum(1/n^s,n,1,inf) es convergente si s>1 y divergente para a=1.
Puede hacer sumas finitas y grafismo para experimentar por sí mismo ese
hecho demostrable de forma abstracta. Maxima también conoce esa
información cuando s es un número natural:
sum(1/n^4,n,1,inf),simpsum;
sum(1/n^5,n,1,inf),simpsum;
sum(1/n^6,n,1,inf),simpsum;
sum(1/n^7,n,1,inf),simpsum;
utiliza la función zeta de Riemann para ello (para más información
véase http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann).Dos modelos importantes de series: armónicas y geométricas
La seriesum(1/n^s,n,1,inf) recibe el nombre de serie armónica de orden s. Como ya hemos dicho anteriormente es convergente si y sólo sí s>1 y su suma es, por definición, zeta(s).Otra serie importante que también se puede sumar es la serie geométrica de razón
r definida por sum(r^n,n,1,inf) o bien sum(r^n,n,0,inf) siendo r una constante cuyo valor absoluto es menor que 1 (si el valor absoluto de r es mayor o igual que 1 la serie no converge).Maxima también sabe sumar esta serie, con ayuda de
simpsum si le aclaramos cómo es el valor absoluto de r en relación con 1
sum(r^n,n,1,inf),simpsum;
Al tratarse de sumas del tipo S[n]=r+r^2+r^3+...+r^n es fácil encontrar una expresión «razonable» para la suma n-esima ya que si multiplicamos por r los dos miembros de la igualdad anterior y restamos obtenemos S[n]-S[n]*r=r-r^(n+1) lo cual nos permite despejar S[n] fácilmente y tomar límites para obtener la suma. Maxima también sabe hacerlo
sum(r^n,n,0,m),simpsum;
da como suma
mientras quem-ésima ??
sum(r^n,n,1,m),simpsum;
da como suma
La importancia de estos modelos estriba en que se utilizan como
patrones para estudiar la convergencia de otras series, mediante
comparación de aquellas, sea con la serie geométrica, sea con la serie
armónica. De ese modo se obtienen los teoremas siguientes que
proporcionan herramientas útiles para analizar la convergencia de
series. m-ésima ??
EjemplosPara estudiar el carácter de convergencia de la serie
sum(x^n /n!,n,0,inf) podemos aplicar- el criterio del cociente
block(assume(x>0), limit( (x^(n+1) /(n+1)!)/ (x^n /n!) ,n,inf)); y siendo el valor del límite ?? la serie converge absolutamente para cualquier valor de
x - el criterio de la raíz
limit( x*(1/n!)^(1/n),n,inf); y siendo el valor del límite ?? la serie converge absolutamente para cualquier valor de
xALGORITMOEn matemáticas, lógica, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi1 ) es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.2 Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.1
En la vida cotidiana, se emplean algoritmos frecuentemente para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemática son el algoritmo de multiplicación, para calcular el producto, el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.
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